Teorema de Parseval

El valor medio de una señal se define como la media de todos los valores que definen y componen la misma  cuya suma representa el área bajo la curva entre un periodo de tiempo que matemáticamente  se representa por  a  la ecuación 1. Gráficamente corresponde a un triángulo que contiene el área equivalente a la que tiene la señal bajo su curva como se muestra en la figura 1.   

Ecuación 1.

Fig. 1.: Área bajo la curva de señal 

En los sistemas de comunicaciones  es importante conocer la potencia promedio de las señales lo que es equivalente al valor cuadrático medio en un periodo definido (T) de la señal como lo muestra la ecuación 2, si f(f) corresponde a una señal de corriente o voltaje representa la potencia promedio entregada por la misma a una resistencia de 1Ω. Los límites de integración para una señal periódica corresponden a un periodo de la señal ya que si se toma n periodos, se aumenta el tiempo n veces y de igual manera pasaría con el área, por lo tanto, se obtendría el mismo resultado.

Ecuación 2.

El teorema de Parseval define que la potencia de las señales es equivalente a la suma de la potencia de sus componentes espectrales y se toma dependiendo de si la señal es periódica o no ya que para su análisis se implementa la serie y la transformada de Fourier respectivamente.

Teorema de Parseval para señales periódicas:

Si por un lado, la serie de Fourier corresponde a la serie trigonométrica o, por el otro, a la exponencial compleja el Teorema de Parseval corresponde a las ecuaciones 3 y 4 respectivamente. En donde se define que  la potencia de la señal es equivalente a la suma de la potencia de los componentes espectrales representados por los coeficientes  a₀, a_n  y b_n  para el primer caso y C_n para el segundo. El valor cuadrático medio es correspondería al valor cuadrático medio de los componentes espectrales como lo muestra la ecuación 5, donde  C₀ es el nivel de offset de la señal y C_n la amplitud de la n-ésimo armónico. 

Ecuación 3.

Ecuación 4.

Ecuación 5.

Ejemplo:

1. Hacer la serie de Fourier para la señal mostrada en la figura 2 a través del Matlab y aplicar el Teorema de Parseval para la serie trigonométrica y la exponencial compleja. 

fig. 2: Señal cuadrada con T=pi y wo=2.

Solución: Se implementa el siguiente código en Matlab  para la serie trigonométrica de Fourier para los primeros cinco armónicos  teniendo en cuenta que T=pi wo=2. Los resultados de los coeficientes se encuentran contenidos en la tabla 2.

close all;

clc;

syms t; 

lim= [0 pi/2 pi];

f= [1 0];

T=pi;

wo=2*pi/T;

n=1:1:5;

f=sym(f);

% hallando coeficientes.

A0=0;

for i=1:length(f)

A0= A0+ int(f(i),'t',lim(i), lim(i+1));

end

A0= simple (2*A0/T)

An=0;

for i=1:length(f)

An= An+ int(f(i)*cos(n*wo*t),'t',lim(i), lim(i+1));

end

An= simple (2*An/T)

Bn=0;

for i=1:length(f)

Bn= Bn+ int(f(i)*sin(n*wo*t),'t',lim(i), lim(i+1));

end

Bn= simple (2*Bn/T)

Tabla I

Coeficientes de la serie de Fourier para la señal de la figura 2.

Nota: Obsérvese que los coeficientes b_n  sólo tienen valor para n impar.

• Para la serie trigonométrica de Fourier:

Teniendo en cuenta la ecuación 2 y los datos contenidos en la tabla I, la potencia de la señal es:

Para n impar

Donde:

Hallando la convergencia tenemos que:

Ecuación 6.

Por lo tanto:

• Para la serie exponencial compleja:

Teniendo en cuenta la ecuación 4 y los datos contenidos en la tabla I, tenemos que:

Para n impar

 Donde:

Teniendo la convergencia de la serie representada por la ecuación 6, tenemos que :

Ejercicios propuestos:

1. Haga el teorema de Parseval para las señales mostradas en las figuras 3 y 4 modificando el código de Matlab para la serie de Fourier con 50 armónicos y posteriormente grafique el espectro. 

Fig. 3: señal diente de sierra.

 fig. 4: señal triangular.

Teorema de Parseval para señales aperiódicas:

Como se mencionó anteriormente el análisis para este tipo de señales se hace a través de la Transformada de Fourier y de igual manera se aplica que la potencia corresponde a la contenida en cada una de sus armónicos. Es útil hablar del contenido de la Energía como se muestra en la ecuación 7,  si f(t) corresponde al voltaje que se entrega a una carga de 1Ω la ecuación expresaría la energía total que entrega a la misma. Para este caso, el teorema de Parseval se plantea a través de la ecuación 8 en donde la energía de la señal se determina por la multiplicación del área bajo la curva  que se denomina como espectro de energía de la señal expresada como |f(w)|²  multiplicado por 1/2π.

Ecuación 7.

Ecuación 8.

Ejercicio propuesto:

1-Demuestre la ecuación 8.

Referencias:

Hsu, Hwei P. Análisis de Fourier.